SISTEMAS DE NUMERACIÓN

SISTEMAS DE NUMERACIÓN
El primer sistema de numeración del cual se tiene conocimiento fue el sistema egipcio. Posteriores a él son el romano, el maya, el chino, el indio, el árabe original hasta llegar al decimal actual.
1.1 EL SISTEMA DECIMAL
El sistema decimal es u sistema posicional, ya que el significado de un símbolo depende funda-mentalmente de su posición relativa al símbolo coma (,), denominado coma decimal, que en caso de ausencia se supone colocada implícitamente a la derecha.
Utiliza como base el 10, que corresponde al número de símbolos que comprenden para la repre-sentación de cantidades; estos símbolos (también denominados dígitos) son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Una determinada cifra, que se denominará número decimal, se puede expresar de la siguiente forma:
n
No =  (dígito)i * (base)i
i= -d
Donde:
• base = 10
• i = posición respecto a la coma
• d = n.o de dígitos a la derecha de la coma,
• n = n.o de dígitos a la derecha de la coma - 1,
• dígito = cada uno de los que componen el número
La fórmula responde al Teorema Fundamental de la Numeración que se verá en el siguiente te-ma.
El sistema decimal es un sistema posicional como ya hemos dicho, ya que el mismo dígito puede variar su valor de acuerdo a su posición.
Ej.:
1000 mil
100 cien
10 diez
1 uno
0,1 un décimo
0,01 un centésimo
1.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN
El teorema fundamental de la numeración dice:
“El valor en el sistema decimal de una cantidad expresada en otro sistema cualquiera de numeración, viene dado por la fórmula:
... + X4*B4 + X3*B3 + X2*B2 + X1*B1 + X0*B0 + X-1*B-1 + X-2*B-2 + X-3*B-3 + ...”
donde X es el dígito y B la base.
Ejemplo:
Supongamos la cantidad 3221,034 esta expresada en base 4 (ver subíndice al final de la canti-dad), dicha base utiliza para representar cantidades los dígitos 0, 1, 2 y 3. ¿Cuál será el valor co-rrespondiente en el sistema decimal?
3 * 43 + 2 * 42 + 2 * 41 + 1 * 40 + 0 * 4-1 + 3 * 4-2 =
3 * 64 + 2 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 + 0 * 0,25 + 3 * 0,0645 = 233,1875
El teorema aplicado a la inversa nos sirve para obtener el valor en una base cualquiera de un va-lor decimal, por medio de divisiones sucesivas por dicha base, como se verá más adelante.
1.3 EL SISTEMA BINARIO
Por razones técnicas, la mayoría de los circuitos electrónicos que conforman un ordenador solo puede detectar la presencia o ausencia de tensión en el circuito. Si a la presencia de tensión en un punto del circuito le asignamos el valor 1 y a la ausencia de la misma el valor 0 (a esta lógica se la denomina lógica positiva). Caso contrario la denominaremos lógica negativa.
Por las razones antes vistas, ya que el hardware por el momento solo reconoce estos dos esta-dos fue necesario crear un sistema de numeración basado en estos dos valores (0, 1), al cual se lo denominó Binario, y cuya base por lo tanto es 2 (números de dígitos del sistema).
En computación cada dígito de un número representado en este sistema se denomina bit (con-tracción de binary digit).
Como múltiplos del bit hallamos:
• 8 bits  Byte (palabra) B (10110110)
• 1024 bytes  1 kilobyte KB
• 1024 KB  1 Megabyte MB
• 1024 MB  1 Gigabyte GB
• 1024 GB  1 Terabyte TB
Dos cosas a tener en cuenta:
a) La B de byte es siempre mayúscula, ya que Kb significa Kbit unidad utilizada en las memo-rias.
b) En el sistema de numeración decimal los múltiplos son potencias 10 (1K  1000 unidades y 1M  1000 K), en el binario es 210 = 1024.
1.4 OPERACIONES CON BINARIOS
Tanto la suma como la multiplicación son semejantes a la decimal con la diferencia que se mane-ja solo dos dígitos, sus tablas de operación se pueden observar en los siguientes esquemas

Suma Multiplicación
+ 0 1 * 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 10 1 0 1

Ejemplos
1 1 1 1 1 Acarreo
1 1 0 0 1 25
+ 1 0 1 0 1 1 + 43
1 0 0 0 1 0 0 68


1 1 Acarreo
1 1 0. 1 0 6,50
+ 1 1 0 1. 0 1 + 13.25
1 0 0 1 1. 1 1 19.75

1 1 0 0 1 25
* 1 0 0 1 1 * 19
1 1 0 0 1
1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 1 1 0 1 1 475

La resta como la división son procesos que la unidad de cálculo del ordenador no realiza por lo tanto no lo vamos a ver en forma directa.

1.5 EL SISTEMA OCTAL
Es un sistema cuya base es el número 8, es decir, utiliza 8 símbolos para la representación de un valor cualquiera. Estos símbolos son:
0 1 2 3 4 5 6 7
Este es un sistema también posicional, de aritmética muy similar al decimal. Su utilización comenzó como sistema de salida de las computadoras ya que para representar un valor la cantidad de símbolos que necesita es menor que el binario y la conversión entre ambos sistemas es muy sencilla de implementar.
1.6 EL SISTEMA HEXADECIMAL
Es un sistema cuya base es el número 16, es decir, utiliza 16 símbolos para la representa-ción de un valor cualquiera. Estos símbolos son:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Este es otro sistema posicional, de característica similar al octal. Su uso fue adoptado por idénticas razones que el octal.
1.7 CONVERSIÓN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS
Se denomina así la transformación de un valor en un sistema al equivalente en otro sistema.
1.7.1 Conversión decimal a binario
Para convertir un número decimal entero a binario, este debe ser dividido por dos y repetir el proceso con sus cocientes hasta que el cociente tome el valor 1. La unión de todos restos escritos en orden inverso encabezados por el último cociente, nos dará el valor expresado en binario.
Ej. : Convertir el número 174 a binario

1 7 4 2

0 8 7 2

1 43 2

1 21 2

1 10 2

0 5 2

1 2 2

0 1


17410 = 101011102
Para convertir una fracción decimal a binario, esta fracción debe ser multiplicada por dos y tomamos la parte entera del resultado, repetimos el proceso con la parte fraccionaria del resultado anterior, dándonos una nueva parte entera, y así sucesivamente hasta que la parte fraccionaria se haga 0 (cero) o que tengamos suficientes decimales que nos permita estar debajo de un determina-do error.
Ej. : Convertir el número 0,90625 a fracción binaria
0,90625 * 2 = 1,8125
0,8125 * 2 = 1,625
0,625 * 2 = 1,25
0,25 * 2 = 0,5
0,5 * 2 = 1,
0,9062510 = 0,111012
Ej. : Convertir el número 0,64037 a fracción binaria
0,64037 * 2 = 1,28074
0,28074 * 2 = 0,56148
0,56148 * 2 = 1,12296
0,12296 * 2 = 0,24592
0,24592 * 2 = 0,49184
0,49184 * 2 = 0,98368
0,98368 * 2 = 1,96736
0,96736 * 2 = 1,93472
0,93472 * 2 = 1,86944
0,86944 * 2 = 1,73888
0, 6403710 = 0,10100011112
El error en el valor es   2-10    0,001. Esto es así porque hemos obtenido 10 uni-dades binarias, de querer mejorar la precisión deberemos obtener un mayor número de fracciones binarias.
Pase a binario las siguientes fracciones decimales con   2-10 : 0,63965 y 0,064062.
Si se desea convertir un número que tiene parte entera y decimal a binario, se deberá ope-rar cada parte por separado como ya se ha visto, y luego obtener la suma de los resultados.
Por ejemplo:
174,9062510 = 10101110,111012
1.7.2 Conversión binario a decimal
Para realizar esta conversión se utiliza como base el teorema fundamental de la numeración.
El método práctico consiste en multiplicar cada uno de los términos por potencias crecientes de 2 a partir de la coma decimal y hacia la izquierda, y realizar la suma de las operaciones.

Por ejemplo:
Pasar a decimal el binario 101011102
1 0 1 0 1 1 1 0

0 * 20 = 0

1 * 21 = 2

1 * 22 = 4

1 * 23 = 8

0 * 24 = 0

1 * 25 = 32

0 * 26 = 0

1 * 27 = 128
174
101011102 = 17410
En los casos de números que posean parte entera y decimal se recomienda el uso del teorema fundamental de la numeración.
Ej.: Convertir 1101,0112 a base 10
Para pasar a base 10 deberemos hacer:
1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 0 * 2-1 + 1 * 2-2 + 1 * 2-3 =
1 * 8 + 1 * 4 + 0 + 1 * 1 + 0 + 1 * 0,25 + 1 * 0,125 =
8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 = 13,375
1101,0112 = 13,37510
1.7.3 Conversión octal a binario
Al ser la base del octal (8) potencia de la base binaria (23), la transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito a dígito. Cada dígito octal será reemplazado por 3 dígitos bina-rios (3 por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que tenemos a continuación.
Octal Binario
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
Ej.:
Convertir a binario el número 276,5348
2 7 6, 5 3 4
010 111 110, 101 011 100

276,5348 = 10111110,10101112
Como se puede ver los ceros al comienzo se han quitado, igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen ningún sentido).
1.7.4 Conversión binario a octal
Esta conversión es similar a la anterior, pero cada tres símbolos binarios corresponde uno octal. Para realizar correctamente esta conversión el número de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 3 si no lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho caso los ceros se agregan al prin-cipio del número.
Ej.
Convertir el binario 10101011,0011 a octal.

010 101 011, 001 100
2 5 3, 1 4

0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión.
10101011,00112 = 253,148
1.7.5 Conversión hexadecimal a binario
Por idénticas razones que el caso anterior (16 = 24), la transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito a dígito. Cada dígito hexadecimal será reemplazado por 4 dígitos bina-rios (4 por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que tenemos a continuación.
Hexadeci-mal Binario Hexadeci-mal Binario
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 A 1010
3 0011 B 1011
4 0100 C 1100
5 0101 D 1101
6 0110 E 1110
7 0111 F 1111


Ej.:
Convertir a binario el número 5A8,39C16
5 A 8, 3 9 C
0101 1010 1000, 0011 1001 1100

5A8,39C16 = 10110101000,00111001112
Como se puede ver otra vez los ceros al comienzo se han quitado, igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen ningún sentido).
1.7.6 Conversión binario a hexadecimal
Esta conversión es similar a la conversión a octal, pero en lugar de tres, serán cuatro símbolos binarios los que corresponde a un hexadecimal. Para realizar correctamente esta conversión el nú-mero de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 4 si no lo fuera deberá agre-garse al final del número tantos ceros como sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho caso los ceros se agregan al principio del número.
Ej.
Convertir el binario 1010101011,00111 a hexadecimal.
0010 1010 1011, 0011 1000
2 A B, 3 8
0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión.
1010101011,00111 2 = 2AB,38816
1.7.7 Conversión decimal a octal o hexadecimal
Para cualquiera de estos dos casos se hará en forma similar a la explicada para convertir de decimal a binario 1.7.1. Pero se deberá tener en cuenta que la base ya no es 2, sino 8 o 16 según corresponda. (Dividir por 8 o 16)
1.7.8 Conversión octal o hexadecimal a decimal
Para cualquiera de estos dos casos se deberá usar el teorema fundamental de la numera-ción, teniendo en cuenta base que corresponda ( 8 o 16 según el caso).
1.7.9 Conversión octal a hexadecimal o hexadecimal a octal.
Estas conversiones no son posibles en una forma directa. Para realizar cualquiera de ellas se deberá usar el pasaje a otra base como paso intermedio.
Por ejemplo octal  decimal  hexadecimal
octal  binario  hexadecimal
Se recomienda como metodología de trabajo esta última, porque al ser las operaciones de conversión más sencillas disminuye la probabilidad de error. Además no existe la posibilidad de errores de redondeo.
1.8 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Existen 4 formas de representar un número entero en un ordenador (todos en sistema bina-rio), ellas son
• Módulo y signo
• Complemento a 1 (C-1)
• Complemento a 2 (C-2)
• Exceso a 2 elevado a la N -1
En todos los casos se considera que tenemos un número limitado de dígitos para cada ele-mento numérico. El número de dígitos disponibles lo representa N (8, 16, 32, 64 o sea 1, 2, 3, 4... Bytes).
1.8.1 Módulo y signo.
En este método se utiliza el primer bit a la izquierda como signo, 0 si es positivo y uno si es negativo. Los restantes (7, 15, etc.), representan el módulo
Por ejemplo
Signo Mantisa
19 se representa en 8 bits como 0 0010011
-19 1 0010011
19 se representa en 16 bits como 0 000000000010011
-19 1 000000000010011
El conjunto de valores que se puede representar en un método determinado se conoce co-mo rango de la representación. Para módulo y signo el rango de representación para N dígitos es:
- 2N-1 +1  x  2N-1 -1
Para 1 Byte (8 bits) es
-127  x  127
Para 2 Byte (16 bits) es
-32767  x  32767
Para 4 Byte (32 bits) es
-2147483647  x  2147483647
Este método tiene la ventaja de poseer un rango simétrico, pero la desventaja de poseer dos representaciones para el número 0
1.8.2 Complemento a 1 (C-1).
Para representar un número positivo es igual al método de MS. Pero en el caso de los nega-tivos, se obtiene complementando al positivo (cambiando 1 por 0 y viceversa)
Por ejemplo
Signo Mantisa
19 se representa en 8 bits como 0 0010011
-19 1 1101100
19 se representa en 16 bits como 0 000000000010011
-19 1 111111111101100
Para complemento a 1 el rango de representación para N dígitos es:
- 2N-1 +1  x  2N-1 -1
Para 1 Byte (8 bits) es
-127  x  127
Para 2 Byte (16 bits) es
-32767  x  32767
Para 4 Byte (32 bits) es
-2147483647  x  2147483647
Este método presenta iguales ventajas y desventajas que el anterior.
1.8.3 Complemento a 2 (C-2)
Este método es similar al anterior, la representación de los números positivos es igual a la anterior, pero los negativos se obtiene en dos pasos:
• Se complementa a 1
• Al resultado se le suma 1
Por ejemplo
19 se representa en 8 bits como 0 0010011
-19 1 1101100 C-1
+ 1
-19 1 1101101 C-2
Para complemento a 2 el rango de representación para N dígitos es:
- 2N-1  x  2N-1 -1
Para 1 Byte (8 bits) es
-128  x  127
Para 2 Byte (16 bits) es
-32768  x  32767
Para 4 Byte (32 bits) es
-2147483648  x  2147483647
Presenta la siguientes ventajas. Tiene una única representación para 0, la segunda es que en lugar de hacer A – B, puedo hacer A + BC-2. La unidad aritmético lógica del microprocesador solo suma, no resta.
1.8.4 Exceso a 2 elevado a la N –1
En este método no hay bit de signo, todos los bits se utilizan para representar el valor del nú-mero más el exceso, que para N bits viene dado por 2N-1, que para una representación de 8 bits es 128.
Para obtener un número en un exceso dado, se realiza la suma algebraica del exceso más el número. Solo se pueden representar valores en módulo menores o iguales al exceso.
Ej.
Exceso 128 10000000
19 + 00010011
19 en exceso 128 10010011
Por ejemplo
19 se representa en 8 bits como 1 0010011
-19 0 1101101
En este método el 0 tiene única representación, el rango de representación es asimétrico.
Para complemento a 2 el rango de representación para N dígitos es:
- 2N-1  x  2N-1 -1
Para 1 Byte (8 bits) es
-128  x  127
Para 2 Byte (16 bits) es
-32768  x  32767
Para 4 Byte (32 bits) es
-2147483648  x  2147483647
La representación en exceso para un número cualquiera es igual a la representación en com-plemento a dos pero el valor del primer bit de la izquierda esta invertido.
1.9 DESBORDAMIENTO (OVERFLOW)
Este hecho se puede producir cuando se suman dos números en un método de representa-ción y el resultado no puede ser representado por el método, dándonos un resultado erróneo. Para el ejemplo usaremos la notación de MS
Ej.
52 0 0 1 1 0 1 0 0 52
+ 97 + 0 1 1 0 0 0 0 1 97
149 1 0 0 1 0 1 0 1 -21
1.10 PRECISION FINITA DE LA INFORMACIÓN
Muchos estudiantes consideran que el ordenador puede trabajar con números con cantidades de cifras infinitamente grande. Este preconcepto es uno de los más erróneos que se puede detectar en el alumno.
Todo ordenador cuenta con un número finito de Bytes para poder almacenar una cifra. Este número puede ser de 1, 2, 4, 6, 8, 10 Bytes, pero nunca infinito. Por lo tanto solo se podrá ingresa, procesar, almacenar y extraer un rango de valores. Por ejemplo para números enteros se utiliza como máximo 4 Bytes (32 bits), siendo el rango de representación entre -247483648... 247483647.
1.10.1 Coma Flotante
Este método nace de la necesidad de representar números reales o enteros con un rango mayor que el dado por los otros métodos.
En su representación se utiliza la representación matemática
NO = mantisa * base exponente
Por ejemplo
79436.54 = 0,7943654 * 105
A este proceso se lo denomina normalización.
Para estos números se utilizan explicaremos dos formas de representación simple y doble precisión, pero existen otros formatos como real, extended, o comp.
Para simple precisión se utiliza 32 bits (4 Bytes), en el segundo caso 64 bits (8 Bytes).
(Todos los elementos en computación se comienzan a numerar por 0)
El esquema en ambos casos es como se ve abajo

Simple Precisión Doble Precisión
C. de bits B. Inicial B. Final C. de bits B. Inicial B. Final
Signo 1 31 1 63
Exponente 8 23 30 11 52 62
Mantisa 23 0 22 52 0 51


Ejemplos de Pasajes de Decimal a Flotante

57 a Flotante

1) Paso 57 a Binario
57  111001

2) Normalizo el binario
111001  0,111001 * 26

3) Paso el exponente a binario
6  110
4) Si trabajo en Simple Precisión (SP) lo expreso como excedente a 10000000 (por los 8 bits), si es en Doble Precisión como excedente a 10000000000 (por los 11 bits). EL exponente nos queda así.

SP 10000110

DP 10000000110

5) Como el número es positivo el bit de signo es 0
El número queda estructurado de la siguiente manera
Signo Exponente Mantisa
SP 0 10000110 111001
Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

El número en cuestión nos queda
0100 0011 0111 0010 0000 0000
7) Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda
437216

En el caso de - 56

8) Como el número es negativo el bit de signo es 1
El número queda estructurado de la siguiente manera
Signo Exponente Mantisa
SP 1 10000110 111001
Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

El número en cuestión nos queda
1100 0011 0111 0010 0000 0000
9) Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda
C37216

Ejemplo de exponente negativo

El número 0, 13671875 repito los pasos anteriorres.

Paso a binario
0,13671875  0,00100011

Normalizo
0,001000112  0,1000112 *2-2

Paso el modulo de la potencia a Binario
2  102

Si trabajo en Simple Precisión (SP) lo expreso como excedente a 10000000 EL exponente nos queda así.

SP 01111110
Como el número es positivo el bit de signo es 0
El número queda estructurado de la siguiente manera

Signo Exponente Mantisa
SP 0 01111110 100011
Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

El número en cuestión nos queda
0011 1111 0100 0110
(no se completó con ceros porque su representación en Hexadecimal son 0 que no afectan el nú-mero final)

Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda
3F4616

Si el número fuera negativo el bit de signo es 1

El número queda estructurado de la siguiente manera

Signo Exponente Mantisa
SP 1 01111110 100011
Debería agrega 0 hasta completar los 24 bits

El número en cuestión nos queda
1011 1111 0100 0110

Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda
BF4616


Si el número (-0,13671875) quisiéramos expresarlo en flotante de 64 bits, el único cambio que ten-dríamos sería el exponente que ya no tiene 8 bits sino 11 bits quedándonos.

El número queda estructurado de la siguiente manera

Signo Exponente Mantisa
SP 1 01111111110 100011

El número en cuestión nos queda
1011 1111 1110 1000 1100

Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda
BFE8C16

Como se puede ver el mismo número según se represente en 32 o en 64 bits

32 bits 64 bits
-0,13671875 BF460000 BFE8C00000000000
Los ceros a la izquierda no son representativos, pueden o no escribirse.
Este método de representación tiene sus rangos de representación los cuales no incluyen el número 0 (cero). Se puede representar números muy próximos a 0 pero no incluye este número.
El módulo mayor que se puede expresar en doble precisión es 1,710 * 10308, con una preci-sión de 15 a 16 cifras(ver transformación de fracciones decimales a binarios). El número más próxi-mo a cero será 1 * 10-309. El módulo mayor que se puede expresar en punto flotante (extended) es 1,10 * 104932.
1.11 REPRESENTACIÓN INTERNA DE LA INFORMACIÓN: Codificación alfanumérica
Cada vez que presionamos una tecla cualquiera en nuestra computadora, esta convierte el carácter presionado en un conjunto bits. Para esta transformación se utilizaron y se utilizan distintos códigos.
El primero fue un código de 6 bits denominado FIELDATA. Es código fue reemplazado por el ASCII (American Standard Code for Information Interchange) que era un código de 7 bits (tenía 128 caracteres posibles), luego aparece el EBCDIC que fue el primer código de 8 bits por último aparece para el ambiente de PC el ASCII extendido que también es de 8 bits (256 caracteres).


Tabla de conversión
Decimal Binario Octal Hexadeci-mal
0 0000 00 0
1 0001 01 1
2 0010 02 2
3 0011 03 3
4 0100 04 4
5 0101 05 5
6 0110 06 6
7 0111 07 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
17 10001 21 11
18 10010 22 12
19 10011 23 13
20 10100 24 14
21 10101 25 15
22 10110 26 16
23 10111 27 17
24 11000 30 18
25 11001 31 19
26 11010 32 1A
27 11011 33 1B
28 11100 34 1C
29 11101 35 1D
30 11110 36 1E
31 11111 37 1F
32 100000 40 20



SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Práctica
1 - Pasar a base 10 los siguientes números, de las bases indicadas:
11012 0,101 2 101,11 2 1,01112 753 8

0,63 8 17,134 8 3A 16 0,FF 16 A5,3B 16
2 - Pasar los siguientes números de base 10 a la base indicada:
39  2 0,525  2 23,945  2 123  8

3,1  8 0,14  8 1068  16 61,6  16
3 Pasar el siguiente decimal a la base indicada con un error menor o igual al indicado
Número Base Error
0,267 2 0,001
52,38 2 0,0001
129,64 2 0,1
163,97 8 0,0001
954,62 16 0,0001
4 - Pasar a las bases indicadas usando propiedad de base de potencia de otra base:
32 8  2 F1 16  8 F1 16  2

73 8  16 1010 2 16 10,10 2  8

5 - Realizar las siguientes sumas:
1010 2 1001 2 1110 2
+ + +
0101 2 0110 2 1010 2


7354 8 F1E5 16 3231 4
+ + +
1123 8 ABC116 2123 4

6 - Realizar las siguientes restas:
F91F 16 0334 8 1060 8
- - -
0101 16 0137 8 1776 8

7 - Realizar las siguientes operaciones por Complemento a la Base
1 0 0 1 1 1 0 1 2 0 1 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 2
- - -
0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 0 0 1 2

8 - Realizar las siguientes restas en base 2. Los números tienen signo.
01000 11001 00110
- - -
00101 00111 11000

9 - Realizar los siguientes productos.
0018 16 047 8 0018 18
x x x
100 16 010 8 010 18

10 - Escribir con notación exceso 10000000 2
1010 2 - F1 16 3014 8

-1100 2 - 513 8 - 37 16


11 - Escribir como complemento a Dos (en 16 bits):
35 10 - 47 10 F1 16 - 16 16

12 - Escribir como complemento a Dos (en 32 bits):
- 93 10 - FF 16 - 10 10 - 31 10

- F3 16 - 16 16
13 - Pasar a base 10 los números (16 bits complemento a dos):
1) 1000000000101000 2) 1110100000010101

3) 1001111011010111 4) 1000000000010101
14 - Pasar a base 10 los siguientes números expresados como punto fijo sin signo (16 bits)
1000000000101000 0110100000010101

1001111011010111 0000000000010101
15 - Escribir con notación exceso 10000000 2
1010 2 - F1 16 3014 5

33 4 - 513 6 - 37 16

16 - Escribir en base 2 y operar por complemento a la base
5349 10 F1F0 16 -3511 10
- + -
317F 16 -34312 10 39F1 16



17 - Escribir como complemento a Dos (en 16 bits):
35 10 - 47 10 F1 16 - 16 16


18 - Escribir como complemento a Dos (en 32 bits):
- 93 10 - FF 16 - 10 10 - 31 10

- F3 16 - 16 16
19 - Expresar en base 10 los siguientes números dados en formato de Punto Flotante
35A1F 93900D ECF 3ED
20 – Pasar a base 10 los números (16 bits complemento a dos):
1) 1000000000101000 2) 0110100000010101

3) 1001111011010111 4) 0000000000010101

Realizar 1) + 2) y 1) - 4)
21 - Pasar a base 10 los siguientes números expresados como punto fijo sin signo (16 bits)
1000000000101000 0110100000010101

1001111011010111 0000000000010101
22 - Pasar a Punto Flotante:
39 0,0103 9F1 9F3,G1
-5826 -0,00002103 -74F28B -0,002A359



23 - Decir que número decimal, representa el siguiente número expresado como Punto Flotan-te
9 E C 1 9 3 5 F 16 C D 9 4 0 1 0 3 16
3 E A C 1 0 0 0 16 A E 8 F 5 0 0 0 16